Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение прямых, построенных по медианам треугольника

Задача 216087 • Сложность: 3 • 10-11 класс
Задача

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C1 – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM1 и BM2. Точки A1 и B1 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Авторы:
Терешин Д. А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Московская устная олимпиада по геометрии Олимпиады и турниры 07 (2009 год) 10-11 класс
Количество версий:
4
Решение

  Pассмотрим окружности, построенные как на диаметрах на медианах AM1 и BM2 треугольника ABC. Пусть C1 и C2 – точки пересечения этих окружностей (см. рис.).

  ПустьH1иH2– вторые точки пересечения этих окружностей со сторонамиBCиACтреугольника. Тогда  ∠AH1M1= ∠BH2M2= 90°,  поскольку они опираются на диаметры, то есть,AH1иBH2– высоты треугольникаABC.   ТреугольникиCABиCH1H2подобны, следовательно,  CH1:CH2=AC:BC = CM2:CM1  то есть  CM2·CH1=CM2·CH2.  Это значит, что точкаCлежит нарадикальной осиуказанных окружностей, то есть на прямойC1C2.   Аналогично прямыеAA1иBB1являютсярадикальными осямидругих пар окружностей. Таким образом, прямыеAA1,BB1иCC1пересекаются врадикальном центретрёх данных окружностей.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет