Олимпиадная задача по планиметрии: точки касания вписанных окружностей в сегменте

Пусть AB — хорда окружности S , а S1и S2— касающиеся окружности, вписанные в один из сегментов, на которые окружность S делится хордой AB , M — точка касания окружностей S1и S2. При инверсии относительно произвольной окружности с центром A точка B перейдёт в некоторую точку B' , окружность S , проходящая через центр инверсии, — в прямую S' , проходящую через точку B' , прямая AB , проходящая через центр инверсии, — в себя, касающиеся окружности S1и S2, не проходящие через центр инверсии, — в касающиеся окружности S1' и S2' , вписанные в угол с вершиной B' , образованный пересечением прямых AB и S' . Точка касания M' окружностей S1' и S2' (образ точки M ) лежит на биссектрисе этого угла. Если ещё раз применить ту же инверсию, то эта биссектриса перейдёт в дугу некоторой окружности, делящей пополам угол с вершиной B между прямой AB и окружностью S .

Дуга окружности.