Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: площади треугольников в равностороннем треугольнике
Задача
Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.
Решение
Пусть A1, B1и C1— основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки O равностороннего треугольника ABC на его стороны BC , AC и AB соответственно. Через точку O проведём прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник ABC на три равносторонних треугольника и три параллелограмма. Отрезки OA , OB и OC — диагонали параллелограммов, значит, они разбивают параллелограммы на равные треугольники. Отрезки OA1, OB1и OC1— высоты соответствующих равносторонних треугольников, значит, они также разбивают эти треугольники на равные треугольники. Отсюда следует решение задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь