Задание олимпиады по математике: прямая Гаусса, четырёхугольник, 8-9 класс

Задача

Продолжения противоположных сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P , а продолжения сторон BC и AD — в точке Q . Докажите, что середины диагоналей AC и BD , а также середина отрезка PQ лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.

Решение

Пусть K , L и M — середины AC , BD и PQ соответственно, а точки P1, A1и D1— середины сторон соответственно AD , DP и AP треугольника APD . Тогда точки D1, K и P1— лежат на одной прямой — средней линии треугольника APD . Аналогично, точки A1, L , P1лежат на одной прямой и точки D1, M , A1лежат на одной прямой. Применив теорему Менелая к треугольнику APD и прямой BQ , получим, что