Олимпиадная задача по стереометрии: тетраэдр ABCD, 10–11 класс, сложность 3/5

а) Координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC равны средним арифметичеким координат вершин треугольника, т.е. x_o==2, y_o==1, z_o==1. Следовательно

DM== = .

б) Найдём координаты векторов:

=(5-(-1));2-2;-1-0)=(6;0;-1), =(2-(-1));-1-2;4-0)=(3;-3;4).

Пусть (a;b;c)— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC (вектор нормали). Тогда · =0и · =0, или

Положим a=1. Тогда c=6и b=(3a+4c)=9. Уравнение плоскости по точке A(-1;2;0)и вектору нормали (a;b;c)имеет вид

a(x+1)+b(y-2)+c(z-0)=0 1(x+1)+9(y-2)+6(z-0)=0 x+9y+6z-17=0.

в) Высоту DH пирамиды ABCD найдём по формуле расстояния от точки до плоскости:

DH = = = .

г) Угол между прямыми BD и AC равен либо углу между векторами =(-2-5; 2-2;-1-(-1))= (-7;0;0)и =(3;-3;4), либо дополняет этот угол до180^o , поэтому

cos α = = = =.

д) Пусть =(a1;b1;c1)— вектор нормали плоскости ACD . Тогда · =0и · =0, где =(-2-(-1);2-2;-1-0)=(-1;0;-1)и =(3;-3;4). Из системы

полагая a1=3и c1=-3, находим, что b1=-1. Следовательно, в качестве вектора нормали плоскости ACD можно взять вектор =(3;-1;-3). Угол между плоскостями ABC и ACD равен либо углу между их векторами нормалей, либо дополняет его до180^o . Следовательно,

cos β = = =

== = .

е) Через прямую AC проведём плоскость, параллельную прямой BD . Уравнение этой плоскости найдём по точке A(-1;2;0)и вектору =(a2;b2;c2), перпендикулярному векторам =(3;-3;4)и =(-7;0;0). Координаты этого вектора найдём из системы

В качестве такого вектора можно взять вектор =(0;4;3). Уравнение искомой плоскости имеет вид0(x+1)+4(y-2)+3(z-0)=0, или4y+3z-8=0. Расстояние между прямыми BD и AC равно расстоянию от любой точки прямой BD (например, от точки D(-2;2;-1)), параллельной AC , до проведённой плоскости, т.е.

d== =.

м) ; ╨) x+9y+6z-17=0; у) ; Я) arccos ; ж) arccos ; и) .