Олимпиадная задача по планиметрии: нахождение стороны треугольника через описание четырёхугольника

  На касательной к описанной окружности данного треугольника отметим точку P так, чтобы она и точка C лежали по разные стороны от прямой AB. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠ABP = ∠C = ∠BNM,  поэтому  BP || MN,  а так как  OB ⊥ BP,  то  OB ⊥ MN.  Треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos β, значит,  MN = AC cos β.

  Пусть  OB = R  – радиус описанной окружности треугольникаABC. Тогда    Следовательно,  S= ½MN·OB= ¼AC² ctg β.  Отсюда  AC² = 4Stg β.