Олимпиадная задача по планиметрии для 7-9 классов: отношение отрезков в треугольнике

Первый способ. Проведём через точку M прямую, параллельную CK, которая пересечет AB в точке D (рис. слева). По теореме Фалеса  BD = KD.  По теореме о пропорциональных отрезках  PM = KD = ½ BK.

Второй способ. Пусть T – середина отрезка CK (рис. справа). MT – средняя линия треугольника CBK, следовательно,  MT || BK  и  BK = 2MT.  Треугольники KAP и TMP, очевидно, подобны, поэтому  MP = MT = ½ BK.

BK : PM = 2.