Олимпиадная задача по комбинаторике о разделении 73 волейбольных команд
Задача
В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что m ≠ n?
Решение
Всего в турнире с участием 73 команд проводится 73·72 : 2 игр. Пусть x команд одержали по n побед, а остальные 73 – x команд – по m побед. Тогда
xn + (73 – x)m = 36·73, откуда x(n – m) кратно 73. Число 73 – простое, поэтому на него делится либо x, либо n – m. Первое невозможно, так как
x < 73. А второе возможно только при m = n (так как и m и n меньше 73).
Ответ
Не могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет