Олимпиадная задача по многочленам и производным для 9–11 классов: 4 действительных корня
Задача
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Решение
Решение 1:Запишем уравнение в виде (x – 1)4 + (a + 4)x + b – 1 = 0. После замены t = x – 1, оно примет вид: t4 = – (a + 4)t – (a + b + 3).
Функция t4 выпукла, поэтому ее график не может иметь с прямой y = – (a + 4)t – (a + b + 3) более двух точек пересечения (см. рис.).
Решение 2:Как известно, между двумя соседними корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Поэтому достаточно проверить, что производная функции f(x) = х4 – 4х³ + 6х² + aх + b имеет ровно один корень. Действительно, f'(x) = 4х³ – 12х² + 12х + a = 4(х – 1)³ + (a + 4), а уравнение вида (х – 1)³ = с всегда имеет ровно один корень.
Ответ
Не существуют.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь