Олимпиадная задача по теории чисел: существуют ли три взаимно простых числа, квадрат которых делится на сумму двух остальных?

Решение 1:   Предположим такие числа a, b, c нашлись. Заметим, что числа  a + b,  b + c,  c + a  попарно взаимно просты. В самом деле, пусть, скажем, числа

a + b,  b + c  делятся на некоторое простое p. Поскольку c² делится на  a + b,  а  a² – на  b + c,  то числа c и a также кратны p, а тогда и  b = (a + b) – a  кратно p, что противоречит условию.

  Число  (a + b + c)² = a² + (b + c)(2a + b + c)  делится на  b + c.  Аналогично оно делится на  a + b  и на  c + a,  а значит, и на  (a + b)(a + c)(b + c);  в частности,  (a + b + c)² ≥ (a + b)(a + c)(b + c).  С другой стороны, ясно, что все числа a, b, c не меньше 2, поэтому

(a + b)(b + c)(c + a) = (a²b + b²c + c²a) + (ab² + bc² + ca²) + 2abc > (2a² + 2b² + 2c²) + (2ab + 2bc + 2ca) > (a + b + c)².  Противоречие.

Решение 2:   В решении 1 доказано, что числа  a + b,  b + c,  c + a  попарно взаимно просты. Пусть  a ≥ b ≥ c.  Заметим, что число  b² + c² – a² = (b + a)(b – a) + c²  кратно  b + a;  аналогично оно кратно  c + a;.  Значит,  b² + c² – a²  делится на  (a + b)(a + c).

  С другой стороны,  – (a + b)(a + c) < – a² < b² + c<² – a² ≤ a² < (a + b)(a + c).  Следовательно,  b² + c² – a² = 0,  то есть  a² = b² + c².

  Итак,  a² = b² + c²  делится на  b + c.  Тогда число  2b² = (b² + c²) + (b – c)(b + c)  также делится на  b + c.  Поскольку числа b и  b + c  взаимно просты, 2 делится на  b + c,  откуда  b = c = 1.  Противоречие.

Не существуют.