Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: периметр треугольника ABM или ACM, 8-10 класс

Задача 216641 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что  AX = AY = 1.  Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.

Авторы:
Шмаров В.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2010-2011 Заключительный этап
Количество версий:
4
Решение

  Поскольку отрезки BC и XY пересекаются, можно считать, что  AB > AX  и  AC < AY.  Пусть вневписанная окружность ω исходного треугольника касается стороны BC в точке R, а продолжений сторон AB и AC в точках P и Q соответственно (см. рис.).

  Как известно (см. задачу155483), отрезкиAPиAQравны полупериметру треугольникаABC, то есть 2. Отсюда следует, чтоXиY– середины этих отрезков. Значит, прямаяXY–радикальная ось(см. задачу161191) окружности ω и точкиA. Поэтому  AM = MR,  и периметр треугольникаACMравен  AC + CM + MR = AC + CR = AC + CQ = AQ= 2.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет