Олимпиадная задача: угол BFC прямой — планиметрия, 8

Задача

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB₁ и CC₁ его высот за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности, построенной на BC как на диаметре (см. рис.). Для решения достаточно доказать, что F также лежит на этой окружности.

ТочкиB₁иFлежат на окружности с диаметромAP. Поэтому ∠PFB₁= ∠PAB₁. Аналогично ∠QFC₁= ∠QAC₁. Имеем 180° – ∠B₁FC₁= ∠PFB₁+ ∠QFC₁= ∠PAB₁+ ∠QAC₁= ∠PAQ– ∠A= 90° – ∠A= ∠B₁CC₁. Таким образом, четырёхугольникCB₁FC₁– вписанный.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: угол BFC прямой

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления