Олимпиадная задача Шаповалова: четыре трёхзначных числа с двумя цифрами
Задача
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.
Решение
Первый способ. 2012 = 503 + 503 + 503 + 503. Заменив ноль пятёркой, мы увеличим сумму на 200; для компенсации заменим одну из пятёрок в разряде сотен на тройку: 2012 = 353 + 553 + 553 + 553.Второй способ. Попытаемся найти два числа, записывающихся двумя цифрами и в сумме дающих 2012 : 2 = 1006. Из разряда десятков должен происходить перенос, поэтому сумма цифр в разряде сотен без этого переноса должна равняться 9. Значит, в этом разряде присутствуют обе неизвестные цифры, и их сумма равна 9. С другой стороны, сумма цифр в разряде единиц оканчивается на 6. Поэтому либо эта сумма равна 6 и получена как 3 + 3 при второй цифре 6 (но тогда мы не сможем получить сумму 10 в разряде десятков), либо равна 16 и получена как 8 + 8 при второй цифре 1. Отсюда получаем представления 1006 = 118 + 888 = 188 + 818;
2012 = 118 + 888 + 118 + 888 = 188 + 818 + 188 + 818 = 118 + 888 + 188 + 818.
Ответ
2012 = 353 + 553 + 553 + 553 = 118 + 118 + 888 + 888 = 118 + 188 + 818 + 888 = 188 + 188 + 818 + 818.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь