Олимпиадная задача о сумме сносных квадратных трёхчленов и их корнях для 8–10 классов

  Каждому сносному трёхчлену  x² + px + q  с   p ≠ 0  соответствует парный сносный трёхчлен  x² – px + q.  Их сумма равна  2x² + 2q.  Отсюда видно, что сумма всех сносных трёхчленов имеет вид  Ax² + C.  Поэтому достаточно проверить, что сумма C всех свободных членов сносных трёхчленов положительна. Посмотрим, какой вклад в C вносят разные группы сносных трёхчленов.

  Для каждой пары  (a, b)  целых чисел, где  0 ≤ a ≤ b ≤ 2013,  ab ≤ 2013,  рассмотрим все сносные трёхчлены с корнями, по модулю равными

a и b. Рассмотрим несколько случаев.

  1)  a = 0.  У таких трёхчленов свободный член равен нулю.

  2)  a = 1,  b = 2013.  Соответствующих сносных трёхчленов два:  x² ± 2012x – 2013;  их вклад в С равен – 4026.  3)  a= 1 <b< 2013. Соответствующих трёхчленов четыре:  x² ± (b+ 1)x + b, x² ± (b– 1)x – b;  их вклад равен 0.   4)  1 <a < b≤ 2013.  Тогда  a < b<²⁰¹³/₂,  значит,  a + b< 2013.  Поэтому соответствующих трёхчленов также четыре; как и в случае 2) их вклад равен 0.   5)  1 ≤a = b, a² < 2013.  Cоответствующих трёхчленов три:  x² ± 2a + a², x² –a²;  их вклад вСсоставляетa².   Итак,  С= 1² + 2² + ... + 44² – 4026 > 0.

Ответ задачи отсутствует