Олимпиадная задача по многочленам и графикам для 11 класса от Косухина О. Н.

Решение 1:   Графики    и    центрально симметричны относительно точки     и, следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда    при  .  Это условие эквивалентно равенству  (a – c)(b – d) = 2.  Аналогично доказывается, что это равенство также эквивалентно тому условию, что центрально симметричные относительно точки     графики    и    имеют ровно одну общую точку.

Решение 2:   Уравнение     имеет ровно одно решение. Нетрудно видеть, что такого не может быть при  a = c  или  b = d.

  При  a ≠ c  и  b ≠ d  это уравнение эквивалентно квадратному уравнению  2(a – c)x² – 2(a – c)(b + d)x + 2(a – c)bd + (b – d) = 0  (ни b, ни d не могут являться его корнями при этих условиях). Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда равен нулю его дискриминант, то есть при

4(a – c)²(b + d)² – 8(a – c)(2(a – c)bd + (b – d)) = 0.

  Преобразуя и учитывая то, что  a – c ≠ 0  и  b – d ≠ 0 , получаем  (a – c)(b – d) = 2.  Аналогично доказывается, что последнее равенство эквивалентно тому, что уравнение     имеет ровно одно решение.

Решение 3:   Точка с координатами  (x, y)  является общей точкой графиков    и    тогда и только тогда, когда пара чисел  (x, y)  является решением системы

  Заметим, что пара чисел  (x₀,y₀)  является решением этой системы тогда и только тогда, когда пара чисел  (½y₀, 2x₀)  является решением системы  Последняя система, как следует из условия, имеет единственное решение. Значит, графики    и    имеют единственную общую точку.

Ответ задачи отсутствует