Олимпиадная задача по стереометрии и комбинаторной геометрии для 10-11 классов: равные рёбра выпуклого многогранника
Задача
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Решение
Решение 1:Предположим, что это не так. Рассмотрим грань A1A2...An, в которой есть два равных ребра A1A2 и A2A3, выходящие из одной вершины (по условию такая грань существут). Рассмотрим также рёбра AiBi, не лежащие в этой грани (некоторые точки Bi могут совпадать). По предположению A3A4 ≠ A3A2, A3B3 ≠ A3A2, следовательно, A3B3 = A3A4. Далее A4A5 ≠ A4A3, A4B4 ≠ A4A3, значит, A4A5 = A4B4. Продолжая, получим, что A1A2 = A1B1. Противоречие.
Решение 2:Пусть есть n вершин, тогда рёбер 3n/2. Для каждой вершины выберем пару равных рёбер с общим концом в этой вершине, всего n пар. Если все пары различны, то в них уже 2n > 3n/2 рёбер. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь