Задание олимпиады: неравенство для многочленов, 10-11 класс, Богданов И. И.

Олимпиадная задача: доказательство неравенства для многочленов, 10-11 класс, Богданов И. И.

Задача

Каждые два из действительных чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства Докажите, что k² ≥ ²⁵/₃.

Решение

Без ограничения общности можно считать, что a₁ < ... < a₅. По условию, a_i+1 – a_i ≥ 1 при всех i = 1, 2, 3, 4. Значит, a_j – a_i ≥ j – i при всех