Олимпиадная задача по планиметрии: положительные числа в вершинах треугольника
Задача
Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Решение
Решение 1:Впишем в треугольник окружность. Отрезки, примыкающие к одной вершине, равны (как касательные, проведенные к данной окружности из данной точки). Поставим в каждую вершину длину соответствующего отрезка. Поскольку каждая сторона составлена из двух таких отрезков, условие выполнено.
Решение 2:В вершинах можно поставить числа ½ (a + b – c), ½ (b + c – a) и ½ (c + a – b) (они положительны в силу неравенства треугольника).
Ответ
Верно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет