Олимпиадная задача по стереометрии и комбинаторной геометрии для 10-11 классов: многогранник и сфера
Задача
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?
Решение
а) Рассмотрим правильную треугольную призму с квадратными боковыми гранями. Отметим на каждом ребре точки, делящие его на три равные части. Очевидно, эти точки равноудалены от центра призмы, то есть лежат на сфере соответствующего радиуса. б) Пусть A1...An – одна из граней многогранника. Все точки Bi, Ci, делящие его стороны Ai–1Ai на три равные части, лежат на одной окружности (пересечении сферы с плоскостью грани) с центром O. Пусть Ai–1Ai = 3a, AiAi+1 = 3b. По теореме о секущей AiBi·AiCi = AiBi+1·AiCi+1, то есть
2a² = 2b² ⇔ a = b. Значит, все стороны грани равны. Поэтому равны и все отрезки BiCi и равнобедренные треугольники BiOCi. Следовательно, равны все треугольники вида BiOAi, углы BiAiO и углы ∠Ai–1AiAi+1 = 2∠BiAiO.
Ответ
а) Не обязательно; б) обязательно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь