Олимпиадная задача по стереометрии: проекции рёбер усечённой пирамиды, 10-11 класс

Задача

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина N ребра B₁C₁ верхней грани A₁B₁C₁D₁ соединена с серединой M ребра AB нижней грани ABCD. Прямые B₁C₁ и AB не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер B₁C₁ и AB на прямую MN равны между собой.

Решение

Утверждение равносильно тому, что равны проекции на прямую MN отрезков MB и B₁N (вдвое меньшей длины, см. рисунок), то есть тому, что

Введём прямоугольную декартову систему координат ОXYZ так, как показано на рисунке (О – центр нижнего основания АВСD, оси x и y параллельны сторонам основания). Пусть длины рёбер большего и меньшего оснований равны 2а и 2b соответственно, а высота пирамиды равна h.