Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)

На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  <i>A + B</i>?

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

Число ¹/₄₂ разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 1997-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на 1 влево. Какое число больше: новое или первоначальное?

Найти все несократимые дроби ^<i>а</i>/_<i>b</i>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).

Можно ли из последовательности  1, ½, &frac13;, ... выбрать (сохраняя порядок)

  а) сто чисел,

  б) бесконечную подпоследовательность чисел,

из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a_k = a</i>_<i>k</i>–2 – <i>a</i>_<i>k</i>–1)?

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Дано:

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_3.gif">

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a</i>_<i>n</i>+1 ≤ 10<i>a_n</i>  при всех натуральных <i>n</i>.

Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,<i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Решить в целых положительных числах уравнение

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>

Решить в натуральных числах уравнение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78138/problem_78138_img_2.gif"></div>

Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь   <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif">  сократима на число <i>k</i>, то  <i>ad – bc</i>  делится на <i>k</i>.

Докажите, что первые три цифры частного   <img width="230" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77924/problem_77924_img_2.gif">   суть 0,239.

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.

В ряд записаны  $n > 2$  различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... и геометрическая <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.

Найдите ближайшее целое число к числу <i>x</i>, если  <i>x</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65474/problem_65474_img_2.png">.

Иногда, вычитая дроби, можно вычитать их числители и складывать знаменатели. Например:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61530/problem_61530_img_2.gif">

Для каких дробей это возможно?

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)