Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 2-7 класса - сложность 3 с решениями

Последовательности положительных чисел (<i>x_n</i>) и (<i>y_n</i>) удовлетворяют условиям   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109842/problem_109842_img_2.gif">   при всех натуральных <i>n</i>. Докажите, что если все числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>y</i>₁, <i>y</i>₂ больше 1, то  <i>x_n > y_n</i>  при каком-нибудь натуральном <i>n</i>.

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют <i>n</i> поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции <i>A, B</i> и <i>C</i> (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию <i>A</i> и одновременно Лёша входит на станцию <i>B</i>, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

Прямоугольник размером 1×<i>k</i>при всяком натуральном<i>k</i>будем называть полоской. При каких натуральных<i>n</i>прямоугольник размером1995×<i>n</i>можно разрезать на попарно различные полоски?

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

  б) Сколько существует значений <i>x</i>₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?

Рассматривается последовательность слов из букв "A" и "B". Первое слово – "A", второе – "B". <i>k</i>-е слово получается приписыванием к (<i>k</i>–2)-му слову справа (<i>k</i>–1)-го (так что начало последовательности имеет вид:  "A", "B", "AB", "BAB", "ABBAB", ...).  Может ли в последовательности встретиться "периодическое" слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них?

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

  а) набор цифр 1234; 3269;   б) вторично набор 1975;   в) набор 8197?

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов<nobr><i>k</i> последовательных</nobr>натуральных чисел равна сумме квадратов<nobr><i>k</i> – 1</nobr>следующих натуральных чисел:3² + 4² = 5², 36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44², 55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63...

При каких <i>n</i> гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., <i>n</i> г можно разложить на три равные по массе кучки?

<img src="/storage/problem-media/73578/problem_73578_img_2.gif" width="285" height="242" vspace="10" hspace="20" align="right">Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на<nobr><i>n</i> равных</nobr>частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на<i>n</i>²треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

На конкурсе "А ну-ка, чудища!" стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну.

  а) Приведите пример того, как такое могло быть.

  б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех примерах одно и то же.

Что больше:

  а)  ¹/₁₀₁ + ¹/₁₀₂ + ... + ¹/₁₉₉ + ¹/₂₀₀  или ¹/₂ ?

  б) ¹/₂·³/₄·⁵/₆·...·⁹⁷/₉₈·⁹⁹/₁₀₀  или ¹/₁₀ ?