Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 8 класса - сложность 4 с решениями

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:

  а) по 5 шахматистов;

  б) произвольное равное число шахматистов.

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

Последовательности(<i>a_n</i>)и(<i>b_n</i>)заданы условиями<i> a₁=</i>1,<i> b₁=</i>2,<i> a_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.

В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.

  Пусть 2<i>S</i> – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число <i>k средним</i>, если в наборе можно выбрать <i>k</i> гирек, суммарный вес которых равен <i>S</i>. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую за<i>n</i>взвешиваний?

Для какого наибольшего<i>n</i>можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности<i>A</i>и<i>B</i>такие, что любой кусок последовательности<i>B</i>длиной<i>n</i>содержится в<i>A</i>,<i>A</i>имеет период 1995, а<i>B</i>этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?<font size="-1">Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.</font>

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> в) и г).

Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы при любом натуральном значении<i>n</i>хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 50 было выбрано и хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 1987 не было выбрано?

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$Найти $a_{1000}$. <b>Примечание.</b> $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.

Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Обозначим через <i>T_k</i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например,    <i>T</i>₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.

   а) Найдите формулы для <i>T</i>₂(<i>n</i>) и <i>T</i>₃(<i>n</i>).

   б) Докажите, что <i>T_<i>k</i></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.

   в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i>_<i>k</i>(<i>n</i>) при  <i>k</i> = 2, 3, 4, ...  и примените его для о...

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке <i>n</i>-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (<i>n</i>+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73699/problem_73699_img_2.gif"> </div>

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Найдите суммы

  а)   1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.

  б)   <i>S_n,k</i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).

Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? <b>Замечание к условию.</b>Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые $n$ членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+1)$-й — как вторую).

Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты – до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну – из шести нот, ..., одну – из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-<i>удачной</i>, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

Пусть X – некоторое множество целых чисел, которое можно разбить на N непересекающихся возрастающих арифметических прогрессий (бесконечных в обе стороны), а меньше чем на N – нельзя. Для любого ли такого X такое разбиение на N прогрессий единственно, если а) N = 2; б) N = 3? (Возрастающая арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое число больше своего соседа слева на одну и ту же положительную величину.)

В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?

Петя прибавил к натуральному числу $N$ натуральное число $M$ и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у $N$. Тогда он снова прибавил $M$ к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у $N$?