Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Аксиома индукции» - сложность 2 с решениями

Даны натуральные числа <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Докажите, что число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60279/problem_60279_img_2.gif">   можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

<b>Аксиома индукции.</b>Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел. Докажите, что аксиома индукцииравносильна любому из следующих утверждений:

1. всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2. всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3. если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4. если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого<i>a</i>, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел<i&g...

Пусть  <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального <i>T</i>   <i>a_n+T = a_n</i>  (<i>n</i> ≥ 0).  Докажите, что

  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины <i>t</i>;

  б) <i>T</i> делится на <i>t</i>.