Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 10-11 класса - сложность 1 с решениями

Докажите неравенство  2^{<i>m+n</i>–2} ≥ <i>mn</i>,  где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">

Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3^<i>n</i> единицами, делится на 3^<i>n</i>.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  6^2<i>n</i>+1 + 1  делится на 7.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  2^5<i>n</i>+3 + 5^<i>n</i>·3^<i>n</i>+2  делится на 17.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  10^<i>n</i> + 18<i>n</i> – 1  делится на 27.

Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Докажите тождество: 1²+ 3²+...+ (2<i>n</i>- 1)²=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$<i>n</i>(2<i>n</i>- 1)(2<i>n</i>+ 1).

<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i>_k<i>q</i>^k + <i>a</i>_{k - 1}<i>q</i>^{k - 1} +...+ <i>a</i>₁<i>q</i> + <i>a</i>₀, </div>где0$\leqslant$<i>a</i>₀,...,<i>a</i>_k<<i>q</i>