Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 11 класса - сложность 4 с решениями

Пусть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61519/problem_61519_img_2.gif">   – производящая функция последовательности <i>чисел Каталана</i>. Докажите, что она удовлетворяет равенству <div align="CENTER"><i>C</i>(<i>x</i>) = <i>xC</i>²(<i>x</i>) + 1, </div>и получите явный вид функции<i>C</i>(<i>x</i>). Определение чисел Каталана можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Найдите общую формулу для коэффициентов ряда<div align="CENTER"> (1 - 4<i>x</i>)^{- $\scriptstyle {\textstyle\frac{1}{2}}$} = 1 + 2<i>x</i> + 6<i>x</i>² + 20<i>x</i>³ +...+ <i>a</i>_n<i>x</i>ⁿ +... </div>

Как будет выглядеть формула <i>n</i>-го члена для рекуррентной последовательности <i>k</i>-го порядка, если

  a) характеристическое уравнение имеет простые корни  <i>x</i>₁,..., <i>x_k</i>,  отличные от нуля;

  б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни  <i>x</i>₁, ..., <i>x_m</i>  с кратностями  α₁, ..., α<i>_m</i>  соответственно?

Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=15#linejnaja_recurrentnaja">справочнике</a>.

Докажите, что при всех натуральных<i>n</i>выполняется сравнение[(1 +$\sqrt{2}$)ⁿ]$\equiv$<i>n</i>(mod 2).

  а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq^x</i> + <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₀  принимает целые значения при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.

Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число  <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.

  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое  <i>m</i> ≥ 1  при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.  Докажите, что  &l...