Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 3-8 класса - сложность 1 с решениями

<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i>_n+2=<i>p</i><i>a</i>_n+1+<i>q</i><i>a</i>_n </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>². Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1²+ 2²+ 3²+...+<i>n</i>².

Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i>_n} и {<i>b</i>_n}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i>_n=<i>a</i>_n,    (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i>_nпоследовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> <i>S</i>_n = <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ +...+ <i>a</i>_n </div>с последовательностью {<i>b</i>_n}?

Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i>²;    </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i>^k;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1);    </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i>_n^k.</td> </tr> </table>