Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Цепные дроби» для 9 класса - сложность 3 с решениями
параграф 5. Цепные дроби
НазадДокажите, что при <i>k</i> ≥ 1 выполняется равенство: <img width="73" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60622/problem_60622_img_2.gif"> = [<i>a<sup>F<sub>k</sub></sup></i>; <i>a</i><sup><i>F</i><sub><i>k</i>–1</sub></sup>, ..., <i>a</i><sup><i>F</i><sub>0</sub></sup>], где {<i>F<sub>k</sub></i>} – последовательность чисел Фибоначчи.
Докажите равенство: [<img width="76" height="59" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60618/problem_60618_img_2.gif">] = <img width="199" height="58" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60618/problem_60618_img_3.gif">.
Разложите в цепные дроби числа:
а) <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60613/problem_60613_img_2.gif">; б) <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60613/problem_60613_img_3.gif">; ½ + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60613/problem_60613_img_4.gif">.
Наиболее точный календарь ввёл в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365; 4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки?
Докажите следующие свойства подходящих дробей:
а) <i>P<sub>k</sub>Q</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>P</i><sub><i>k</i>–2</sub><i>Q<sub>k</sub></i> = (–1)<i><sup>k</sup>a<sub>k</sub></i> (<i>k</i> ≥ 2);
б) <img width="28" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60602/problem_60602_img_2.gif"> – <img width="45" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60602/problem_60602_img_3.gif"> = <img width="65" height="56" align="MIDDLE" border=&...
Пусть <i>a</i><sub>0</sub> – целое, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – натуральные числа. Определим две последовательности
<i>P</i><sub>–1</sub> = 1, <i>P</i><sub>0</sub> = <i>a</i><sub>0</sub>, <i>P<sub>k</sub> = a<sub>k</sub>P</i><sub><i>k</i>–1</sub> + <i>P</i><sub><i>k</i>–2</sub> (1 ≤ <i>k ≤ n</i>); <i>Q</i><sub>–1</sub> = 0, <i>Q</i><sub>0</sub> = 1, <i>Q<sub>k</sub> = a<sub>k</sub>Q</i><sub><i>k</i>–1</sub&...