Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Делимость» для 7-11 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.

а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и  2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif">  делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите утверждение обратное тому, что было в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160668">160668</a>:

     если  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60669/problem_60669_img_2.gif">  делится на <i>n</i> при всех  1 ≤ <i>k ≤ n</i> – 1,  то <i>n</i> – простое число.

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что  <i>m > n</i>,  <i>m</i> не делится на <i>n</i> и имеет от деления на <i>n</i> тот же остаток, что и  <i>m + n</i>  от деления на  <i>m – n</i>.

Найдите отношение  <i>m</i> : <i>n</i>.