Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 3. Сравнения
НазадПусть числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>m</sub></i> образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>. Для каких <i>a</i> и <i>b</i> числа <i>y<sub>j</sub> = ax<sub>j</sub> + b</i> (<i>j</i> = 1, ..., <i>m</i>) также образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>?
Докажите, что любые <i>m</i> чисел <i>x</i><sub>1</sub>,..., <i>x<sub>m</sub></i>, попарно не сравнимые по модулю <i>m</i>, представляют собой полную систему вычетов по модулю <i>m</i>.
Докажите, что <i>p</i><sup><i>p</i>+2</sup> + (<i>p</i> + 2)<sup><i>p</i></sup> ≡ 0 (mod 2<i>p</i> + 2), где <i>p</i> > 2 – простое число.
Найдите все такие целые числа <i>x</i>, что <i>x</i> ≡ 3 (mod 7), <i>x</i>² ≡ 44 (mod 7²), <i>x</i>³ ≡ 111 (mod 7³).
Шестизначное число делится на 7. Его первую цифру стёрли, а затем записали её позади последней цифры.
Докажите, что новое число также делится на 7.
Равносильны ли сравнения <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>ac ≡ bc</i> (mod <i>mc</i>)?
Когда сравнения <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>ac ≡ bc</i> (mod <i>m</i>) равносильны?
Из свойств сравнений следует, что с классами вычетов можно делать все операции, которые допустимы для целых чисел: складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Отличие будет лишь в том, что построенная арифметика действует на конечном множестве классов вычетов. Например, для <i>m</i> = 6 получаются такие таблицы сложения и умножения: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60678/problem_60678_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/60678/problem_60678_img_3.gif"></div>Постройте аналогичные таблицы сложения и умножения для модулей <i>m</i>= 7, 8, ..., 13.