Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:

  а)  <i>x</i>² + <i>y</i>² = 2003;

  б)  12<i>x</i> + 5 = <i>y</i>²;

  в)   – <i>x</i>² + 7<i>y</i>³ + 6 = 0;

  г)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1999;

  д)  15<i>x</i>² – 7<i>y</i>² = 9;

  е)  <i>x</i>² – 5<i>y</i> + 3 = 0;

  ж)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60724/problem_60724_img_2.gif"> 

  з)  8<i>x</i>³ – 13<i>y</i>³ = 17.

Докажите, что числа <i>p</i> и  <i>p</i> + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((<i>p</i> – 1)! + 1) + <i>p</i> ≡ 0 (mod <i>p</i>² + 2<i>p</i>).

В каких случаях разрешимо сравнение  <i>ax ≡ b</i> (mod <i>m</i>)? Опишите все решения этого сравнения в целых числах.

Решите сравнения:

  а)  8<i>x</i> ≡ 3 (mod 13);

  б)  17<i>x</i> ≡ 2 (mod 37);

  в)  7<i>x</i> ≡ 2 (mod 11);

  г)  80<i>x</i> ≡ 17 (mod 169).

Докажите, что число  1^<i>k</i> + 2^<i>k</i> + ... + 12^<i>k</i>  делится на 13 для  <i>k</i> = 1, 2, ..., 11.

Докажите справедливость следующих сравнений:

  а)  1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ (mod 13);

  б)  1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ (mod 13).

В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160477">160477</a> были определены <i>числа Евклида</i>. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида <i>e_n</i>?

а) Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0.

б) Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?