Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 5-10 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 3. Сравнения
НазадДано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Докажите, что числа <i>H<sub>n</sub></i> = 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + ... + <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> при <i>n</i> > 1 не будут целыми.
Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
а) <i>x</i>² + <i>y</i>² = 2003;
б) 12<i>x</i> + 5 = <i>y</i>²;
в) – <i>x</i>² + 7<i>y</i>³ + 6 = 0;
г) <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1999;
д) 15<i>x</i>² – 7<i>y</i>² = 9;
е) <i>x</i>² – 5<i>y</i> + 3 = 0;
ж) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60724/problem_60724_img_2.gif">
з) 8<i>x</i>³ – 13<i>y</i>³ = 17.
Докажите, что числа <i>p</i> и <i>p</i> + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((<i>p</i> – 1)! + 1) + <i>p</i> ≡ 0 (mod <i>p</i>² + 2<i>p</i>).
Докажите, что <i>p</i> – простое тогда и только тогда, когда (<i>p</i> – 2)! ≡ 1 (mod <i>p</i>).
Докажите, что для простого <i>p</i> (<i>p</i> – 1)! ≡ – 1 (mod <i>p</i>).
В каких случаях разрешимо сравнение <i>ax ≡ b</i> (mod <i>m</i>)? Опишите все решения этого сравнения в целых числах.
Решите сравнения:
а) 8<i>x</i> ≡ 3 (mod 13);
б) 17<i>x</i> ≡ 2 (mod 37);
в) 7<i>x</i> ≡ 2 (mod 11);
г) 80<i>x</i> ≡ 17 (mod 169).
Докажите, что число 1<sup><i>k</i></sup> + 2<sup><i>k</i></sup> + ... + 12<sup><i>k</i></sup> делится на 13 для <i>k</i> = 1, 2, ..., 11.
Докажите справедливость следующих сравнений:
а) 1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2<sup>2</sup> + ... + 2<sup>11</sup> (mod 13);
б) 1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4<sup>2</sup> + ... + 4<sup>11</sup> (mod 13).
В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160477">160477</a> были определены <i>числа Евклида</i>. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида <i>e<sub>n</sub></i>?
Целые числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> + <i>c</i><sup>4</sup> + <i>d</i><sup>4</sup> делится на 5. Докажите, что <i>abcd</i> делится на 625.
а) Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0.
б) Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?