Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Признаки делимости» для 11 класса - сложность 1-4 с решениями

Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой одновременно имеют место следующие признаки делимости:

  1) число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5;

  2) число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 7.

а) Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2.б) Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом  <i>m</i> > 1.

С помощью признака делимости Паскаля (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160815">160815</a>) установите признаки делимости на числа 3, 9, 6, 8, 12, 15, 11, 7, 27, 37.

Пусть запись числа <i>N</i> в десятичной системе счисления имеет вид   <span style="text-decoration: overline;"><i>a_na</i>_<i>n</i>–1...<i>a</i>₁<i>a</i>₀</span> ,   <i>r_i</i> – остаток от деления числа 10^<i>i</i> на <i>m</i>  (<i>i</i> = 0, ..., <i>n</i>).

Докажите, что число <i>N</i> делится на <i>m</i> тогда и только тогда, когда число  <i>M = a_nr_n + a</i>_<i>n</i>–1<i>r</i><sub>&...

Докажите, что если  <i>n</i> > 6  – чётное совершенное число, то его цифровой корень (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160794">160794</a>) равен 1.