Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Признаки делимости» для 9-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой одновременно имеют место следующие признаки делимости:

  1) число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5;

  2) число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 7.

а) Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2.б) Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом  <i>m</i> > 1.

Двое пишут  а) 30-значное;  б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Докажите, что если  <i>n</i> > 6  – чётное совершенное число, то его цифровой корень (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160794">160794</a>) равен 1.