Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

Докажите, что на окружности с центром в точке  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60869/problem_60869_img_2.gif">  лежит не более одной точки целочисленной решетки.

<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>

<b>Задача Бхаскары.</b>Упростите выражение<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}$. </div>

Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел: а)${\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$+${\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$+...+${\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$; б)${\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$+${\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$; в)$\sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$-$\sqrt{40\sqrt2+57}$.

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — различные простые числа. Докажите, что числа$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Один из корней уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  равен  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60855/problem_60855_img_2.gif">.  Найдите <i>a</i> и <i>b</i>, если известно, что они рациональны.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>²<i>y + y</i>³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

Для каких натуральных <i>n</i> число ¹/_<i>n</i> представляется конечной десятичной дробью?

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Пусть число α задаётся десятичной дробью

  а) 0,101001000100001000001...;

  б) 0,123456789101112131415....

Будет ли это число рациональным?

Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:

  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

Найдите цифры <i>a</i> и <i>b</i>, для которых  <img width="98" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60840/problem_60840_img_2.gif"> = 0,<i>bbbbb</i>...