Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Числа, дроби, системы счисления» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то  <i>L</i>(<i>m</i>)  является делителем числа φ(<i>m</i>).

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i>_ab</i> будет рациональным?

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  ¹/₂₄₃ = 0,004115226337448...