Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа»
параграф 1. Рациональные и иррациональные числа
НазадНайти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
Определим последовательности чисел (<i>x<sub>n</sub></i>) и (<i>d<sub>n</sub></i>) условиями <i>x</i><sub>1</sub> = 1, <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [ <img width="103" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60875/problem_60875_img_2.gif"> ], <i>d<sub>n</sub></i> = <i>x</i><sub>2<i>n</i>+1</sub> – 2<i>x</i><sub>2<i>n</i>–1</sub> (<i>n</i> ≥ 1).
Докажите, что число <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-me...
Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
Число <i>e</i> определяется равенством <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_2.gif"> Докажите, что а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_3.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_4.gif"> где 0 < <i>r<sub>n</sub></i> ≤ 1/<sub><i>n</i>!<i>n</i></sub>;в) <i>e</i> – иррациональное число.
Докажите следующие равенства:
а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;
б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...
При каких натуральных <i>n</i> число (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)<sup><i>n</i></sup> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)<sup><i>n</i></sup> будет целым?
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
<table> <tr><td align="LEFT">а) <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_2.gif">; </td> <td align="LEFT"> д) <img width="118" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_3.gif">;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <img width="109" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_4.gif">; </td> <td align="LEFT"> е) <...
Докажите, что на окружности с центром в точке <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60869/problem_60869_img_2.gif"> лежит не более одной точки целочисленной решетки.
Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при <i>n</i> ≠ 4 не существует правильного <i>n</i>-угольника с вершинами в узлах решетки.
Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.
Докажите, что при<i>x</i>≠π<i>n</i>(<i>n</i>– целое) sin <i>x</i>и cos <i>x</i>рациональны тогда и только тогда, когда число<i>tg</i> ${\dfrac{x}{2}}$рационально.
При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i><sub>a</sub>b</i> будет рациональным?
Докажите, что число$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$+$\sqrt{11}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$иррационально.
<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>
<b>Задача Бхаскары.</b>Упростите выражение<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}$. </div>
Вычислите: а)$\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}$+$\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}$; б)$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$-$\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$; в)$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}$+$\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$ (9$\leqslant$<i>x</i>$\leqslant$18).
Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел: а)${\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$+${\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$+...+${\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$; б)${\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$+${\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$; в)$\sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$-$\sqrt{40\sqrt2+57}$.
Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}$ + $\displaystyle \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$ = 3. </div>
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — различные простые числа. Докажите, что числа$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$не могут быть членами одной арифметической прогрессии.
Один из корней уравнения <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0 равен 1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60855/problem_60855_img_2.gif">. Найдите <i>a</i> и <i>b</i>, если известно, что они рациональны.
Может ли
а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?
в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>x</i>²<i>y + y</i>³ = 0 не имеет рациональных решений, кроме (0, 0).
Докажите, что уравнения
а) 8<i>x</i><sup>4</sup> + 4<i>y</i><sup>4</sup> + 2<i>z</i><sup>4</sup> = <i>t</i><sup>4</sup>;
б) <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>;
в) <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>u</i>² = 2<i>xyzu</i>;
г) 3<sup><i>n</i></sup> = <i>x</i>² + <i>y</i>²
не имеют решений в натуральных числах.