Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» для 11 класса
параграф 1. Рациональные и иррациональные числа
НазадНайти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Определим последовательности чисел (<i>x<sub>n</sub></i>) и (<i>d<sub>n</sub></i>) условиями <i>x</i><sub>1</sub> = 1, <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [ <img width="103" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60875/problem_60875_img_2.gif"> ], <i>d<sub>n</sub></i> = <i>x</i><sub>2<i>n</i>+1</sub> – 2<i>x</i><sub>2<i>n</i>–1</sub> (<i>n</i> ≥ 1).
Докажите, что число <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-me...
Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
Число <i>e</i> определяется равенством <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_2.gif"> Докажите, что а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_3.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_4.gif"> где 0 < <i>r<sub>n</sub></i> ≤ 1/<sub><i>n</i>!<i>n</i></sub>;в) <i>e</i> – иррациональное число.
Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при <i>n</i> ≠ 4 не существует правильного <i>n</i>-угольника с вершинами в узлах решетки.
Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.
При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i><sub>a</sub>b</i> будет рациональным?
Докажите, что число$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$+$\sqrt{11}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$иррационально.
Может ли
а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?
в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Докажите, что среди чисел [2<sup><i>k</i></sup><img width="25" eight="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60850/problem_60850_img_2.gif">] (<i>k</i> = 0, 1, ...) бесконечно много составных.
Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60847/problem_60847_img_2.gif">. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.
Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период: <sup>1</sup>/<sub>243</sub> = 0,004115226337448...