Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» для 8 класса

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Докажите следующие равенства:

  а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;

  б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_2.gif">;    </td> <td align="LEFT"> д) <img width="118" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_3.gif">;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <img width="109" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_4.gif">;    </td> <td align="LEFT"> е) &lt...

Докажите, что на окружности с центром в точке  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60869/problem_60869_img_2.gif">  лежит не более одной точки целочисленной решетки.

<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>

<b>Задача Бхаскары.</b>Упростите выражение<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}$. </div>

Вычислите: а)$\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}$+$\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}$; б)$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$-$\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$; в)$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}$+$\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$    (9$\leqslant$<i>x</i>$\leqslant$18).

Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел: а)${\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$+${\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$+...+${\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$; б)${\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$+${\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$; в)$\sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$-$\sqrt{40\sqrt2+57}$.

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}$ + $\displaystyle \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$ = 3. </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — различные простые числа. Докажите, что числа$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Один из корней уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  равен  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60855/problem_60855_img_2.gif">.  Найдите <i>a</i> и <i>b</i>, если известно, что они рациональны.

Может ли

а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?

б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?

в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>²<i>y + y</i>³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

Докажите, что уравнения

  а)  8<i>x</i>⁴ + 4<i>y</i>⁴ + 2<i>z</i>⁴ = <i>t</i>⁴;

  б)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>u</i>² = 2<i>xyzu</i>;

  г)  3^<i>n</i> = <i>x</i>² + <i>y</i>²

не имеют решений в натуральных числах.

Докажите иррациональность следующих чисел:а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_2.gif"> ; б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_3.gif"> ; в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_4.gif"> ; г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_5.gif"> ; д)  cos 10° ; е)  tg 10° ; ж)  sin 1° ; з)  log_₂3 .

Для каких натуральных <i>n</i> число ¹/_<i>n</i> представляется конечной десятичной дробью?

Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60847/problem_60847_img_2.gif">. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Пусть число α задаётся десятичной дробью

  а) 0,101001000100001000001...;

  б) 0,123456789101112131415....

Будет ли это число рациональным?

Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:

  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

Найдите цифры <i>a</i> и <i>b</i>, для которых  <img width="98" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60840/problem_60840_img_2.gif"> = 0,<i>bbbbb</i>...

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:

  а) ¹/₇;   б) ²/₇;   в) ¹/₁₄;   г) ¹/₁₇.