Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Разложите  <i>P</i>(<i>x</i> + 3)  по степеням <i>x</i>, где  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 1.

Пользуясь схемой Горнера, разложите  <i>x</i>⁴ + 2<i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> + 1  по степеням  <i>x</i> + 1.

Значение многочлена  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀    (<i>a_n</i> ≠ 0)  в точке  <i>x = c</i>  можно вычислить, используя ровно <i>n</i> умножений. Для этого нужно представить многочлен <i>P_n</i>(<i>x</i>) в виде  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = (...(<i>a_nx + a</i><sub><...

При каком положительном значении <i>p</i> уравнения  3<i>x</i>² – 4<i>px</i> + 9 = 0  и  <i>x</i>² – 2<i>px</i> + 5 = 0  имеют общий корень?

Докажите, что из равенства  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  следует соотношение  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = (<i>Q</i>(<i>x</i>), <i>R</i>(<i>x</i>)).

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a_n<i>x</i>ⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀?

Докажите, что остаток от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – c</i>  равен <i>P</i>(<i>c</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены <i>T</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>), что

<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  и  deg <i>R</i>(<i>x</i>) < deg<i>Q</i>(<i>x</i>);  при этом <i>T</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) определяются однозначно.