Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» для 7-10 класса - сложность 3 с решениями

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Докажите, что любой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> можно единственным образом разложить по степеням  <i>x – c</i>: <div align="CENTER"><i>P</i>(<i>x</i>) = <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61002/problem_61002_img_2.gif"> <i>c_k</i>(<i>x – c</i>)^<i>k</i>, </div>причем коэффициенты <i>c_k</i> могут быть найдены по формуле <div align="CENTER"><i>c_k</i> = <img width="8" height="57" align="MIDD...

Решите систему<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$ </div>

Последовательность <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... задана условиями  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>P</i>(<i>a_n</i>)  (<i>n</i> ≥ 0),  где <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами,  <i>P</i>(<i>x</i>) > 0  при  <i>x</i> ≥ 0.

Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>k</i>  (<i>a_m, a_k</i>) = <i>a</i>_{(<i>m, k</i>)}.

Найдите  (<i>xⁿ</i> – 1, <i>x^m</i> – 1).

Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде  <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):

  а)  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1,  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;

  б)  <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>⁴ – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...

Пусть  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что  deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>),  deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>)  и   <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно и <i>P</i>(<i>x</i>) не делится на <i>Q</i>(<i>x</i>). Докажите, что при некотором  <i>s</i> ≥ 1  существуют такие многочлены  <i>A</i>₀(<i>x</i>), <i>A</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>A_s</i>(<i>x</i>)  и  <i>R</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>R_s</i>(<i>x</i>),  что  deg<i>Q</i>(<i>x</i>) > deg<i>R</...

Найдите остаток <i>R</i>(<i>x</i>) от деления многочлена  <i>xⁿ + x</i> + 2  на  <i>x</i>² – 1.

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.

Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

Пусть <i>m</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>m_n</i>(<i>x</i>) – попарно взаимно простые многочлены, <i>a</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>a_n</i>(<i>x</i>) – произвольные многочлены.

Докажите, что существует ровно один такой многочлен <i>p</i>(<i>x</i>), что

    <i>p</i>(<i>x</i>) ≡ <i>a</i>₁(<i>x</i>) (mod <i>m</i>₁(<i>x</i>)),

      ...

    <i>p</i>(<i>x</i>) ≡ <i>a_n</i>(<i>x</i>) (mod <i>m<sub...

При каких <i>n</i> многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2<i>n</i>–2}  делится на  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1?

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ + <i>kxyz</i>  делилось на  <i>x + y + z</i>.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) дает остаток 2 при делении на  <i>x</i> – 1,  и остаток 1 при делении на  <i>x</i> – 2.

Какой остаток дает <i>P</i>(<i>x</i>) при делении на многочлен  (<i>x</i> – 1)(<i>x</i> – 2)?

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена <i>n</i>-й степени больше чем <i>n</i> касательных?

Докажите, что многочлен степени <i>n</i> имеет не более чем <i>n</i> корней.