Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа»

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Решите систему     <img width="20" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_2.gif"><img width="318" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_3.gif"> (<i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i> – различные числа.)

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Докажите, что из равенств

    <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_2.gif"><img width="165" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_3.gif">

следует, что <i>x = y = z</i> = 0.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_2.gif"><img width="200" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_3.gif">

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Постройте многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:

  а)   <i>f</i>(0) = 1,   <i>f</i>(1) = 3,   <i>f</i>(2) = 3;

  б)   <i>f</i>(–1) = –1,   <i>f</i>(0) = 2,   <i>f</i>(1) = 5;

  в)   <i>f</i>(–1) = 1,   <i>f</i>(0) = 0,   <i>f</i>(2) = 4.

Какие остатки дает многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161052">161052</a> при делении на многочлены вида  <i>x</i> - <i>x</i>_i?

Пусть <i>A, B</i> и <i>C</i> – остатки от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – a,  x – b</i>  и  <i>x – c</i>.

Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>).

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Докажите, что для любых  <i>y</i>₁, <i>y</i>₂, ..., <i>y_n</i>  существует единственнный многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше  <i>n</i> – 1,  такой, что  <i>f</i>(<i>x</i>₁) = <i>y</i>₁, ...,  <i>f</i>(<i>x_n</i>) = <i>y_n</i>.

Опишите явный вид многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>x</i>) + <i>f</i>₂(<i>x</i>) + ... + <i>f_n</i>(<i>x</i>),  где  <i>f_i</i>(<i>x</i>) – многочлены из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161050">161050</a>.

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Постройте многочлены   <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>)  степени  <i>n</i> – 1,  которые удовлетворяют условиям   <i>f_i</i>(<i>x_i</i>) = 1  и   <i>f_i</i>(<i>x_j</i>) = 0  при  <i>i ≠ j</i>  (<i>i, j</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>).

Докажите тождество   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61049/problem_61049_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61048/problem_61048_img_2.gif">