Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Докажите, что для любых  <i>y</i>₁, <i>y</i>₂, ..., <i>y_n</i>  существует единственнный многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше  <i>n</i> – 1,  такой, что  <i>f</i>(<i>x</i>₁) = <i>y</i>₁, ...,  <i>f</i>(<i>x_n</i>) = <i>y_n</i>.