Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Тригонометрия» для 11 класса - сложность 2 с решениями

<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...

Докажите, что если сумма<div align="CENTER"> <i>a</i>₁cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + <i>x</i>) + <i>a</i>₂cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + <i>x</i>) +...+ <i>a</i>_ncos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + <i>x</i>) </div>при<i>x</i>= 0 и<i>x</i>=<i>x</i>₁$\ne$<i>k</i>$\pi$(<i>k</i> — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех<i>x</i>.