Задача
Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными угламиA,B,C. Для него справедлива теорема синусов (8.7) и две теоремы косинусов (8.6), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства
|
(8.6) |
и, кроме того, величины$\alpha$,$\beta$,$\gamma$иA,B,Cзаключены между 0 и$\pi$. Докажите, что
| $\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. | (8.7) |
Решение
Из первого равенства
cos A = $\displaystyle {\dfrac{\cos \alpha-\cos
\beta\cos \gamma}{\sin \beta\sin \gamma}}$.
Отсюда
sin2A = $\displaystyle {\dfrac{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^2\beta\sin^2\gamma}}$,
$\displaystyle {\dfrac{\sin^2A}{\sin^2\alpha}}$ = $\displaystyle {\dfrac{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma}}$.
Так как данные формулы переходят одна в другую при круговой
перестановке переменных$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,A,B,Cи от этого преобразования правая часть последнего равенства
не меняется, то
$\displaystyle {\frac{\sin^2 A}{\sin ^2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin^2
B}{\sin ^2\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ^2C}{\sin ^2\gamma}}$.
Так как все
величины$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,A,B,Cзаключены в
пределах от 0 до$\pi$, то
$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin
\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет