Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 11 класса - сложность 1 с решениями
глава 8. Алгебра + геометрия
НазадДокажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.
Докажите, что точка <i>m</i> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> (<i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>) является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>.
Докажите, что прямая, проходящая через точки <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub> – это геометрическое место точек <i>z</i>, для которых <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_2.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_3.gif">.
z<sub>2</sub>, <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>0</sub> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_2.gif"> – вещественное число, или <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_3.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_4.gif">.
Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке <i>z</i><sub>0</sub> и проходящими через точки <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub>, равен аргументу отношения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61176/problem_61176_img_2.gif">
Пусть <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub> – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек <i>z</i>, удовлетворяющих соотношениям:
а) arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_2.gif"> = 0; б) arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_3.gif"> = 0.