Олимпиадные задачи по теме «Функции одной переменной. Непрерывность»

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].

Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что   ¹/_<i>n</i> (|<i>x – x</i>₁| + |<i>x – x</i>₂| + ... + |<i>x – x_n</i>|)  = ½.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x²</i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>²<img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₀  имеет хотя бы один действительный корень и  <i>a</i>₀ ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i>₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i>  и  <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i>⁶  определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.

Докажите, что функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif">   также возрастает при всех положительных <i>x</i>.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.

Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>

f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>

Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>

f²</i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...

Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sinⁿ x- cosⁿ x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin^m x- cos^m x|; </i></center>

Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i&gt...

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.

Функция<i> f</i>(<i>x</i>)определена и удовлетворяет соотношению <center>(<i>x-</i>1)<i>f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_2.gif"></i>)<i>-f</i>(<i>x</i>)<i>=x

</i></center> при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_3.gif"></i>1. Найдите все такие функции.

Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?