Олимпиадные задачи по теме «Функции одной переменной. Непрерывность» - сложность 3 с решениями

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x²</i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>²<img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₀  имеет хотя бы один действительный корень и  <i>a</i>₀ ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i>₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i>  и  <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i>⁶  определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.

Докажите, что функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif">   также возрастает при всех положительных <i>x</i>.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.

Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>

f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>

Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>

f²</i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...

Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i&gt...

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Функция<i> f</i>(<i>x</i>)определена и удовлетворяет соотношению <center>(<i>x-</i>1)<i>f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_2.gif"></i>)<i>-f</i>(<i>x</i>)<i>=x

</i></center> при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_3.gif"></i>1. Найдите все такие функции.

Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.

Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x^y</i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>^f</i>(<i>y</i>).

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

<i>x</i>₁ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  <i>x</i>₂ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² – <i>ax – b</i> = 0.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + 2<i>b</i> = 0  имеет вещественный корень, заключённый между <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂.  (<i>a</i> и <i>b</i> – вещественные числа).

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...,  такая, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  различны.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  такова, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁)= 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?

Существуют ли такие две функции  <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:

  а)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x,  g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x,   f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?

  б)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>,   <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x&...

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... такова, что

<i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂,  и т.д. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?

Целые ненулевые числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98505/problem_98505_img_2.gif"></div>выполнено при всех целых значениях<i>x</i>, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.   a) Докажите, что число<i>n</i>чётно.   б) При каком наименьшем<i>n</i>такие числа существуют?

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.