Олимпиадная задача: Квадратное уравнение с условием и корень на интервале (0,1)

  Рассмотрим функцию  f(x) = ax² + bx + c.   Первый способ. Предположим, что данное уравнение не имеет корней на интервале  (0, 1).  Тогда, в силу непрерывности, функция f(x) сохраняет знак на этом промежутке. В частности,   f(0) = c,   f(½) = ¼ (a + 2b + 4c),   f(1) = a + b + c  – числа одного знака (f(0) и f(1) могут равняться нулю). Следовательно, число   f(0) + 4f(½) + f(1) = 2a + 3b + 6c  имеет тот же знак, что  f(½). Противоречие.   Второй способ.   f(0) = c,   f(⅔) = ¹/₉ (4a + 6b + 9c) = ¹/₉ (– 12c + 9c) = – ^c/₃.  Если  c = 0,  то   f(⅔) = 0.  Если же  c ≠ 0,  то на концах отрезка  [0, ⅔]  функция  f принимает значения разных знаков. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой внутренней точке этого отрезка.   Третий способ.     значит, функция  f принимает на отрезке  [0, 1]  как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой его внутренней точке.

Ответ задачи отсутствует