Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 11 класса - сложность 2 с решениями

<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...

Докажите, что если сумма<div align="CENTER"> <i>a</i>₁cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + <i>x</i>) + <i>a</i>₂cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + <i>x</i>) +...+ <i>a</i>_ncos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + <i>x</i>) </div>при<i>x</i>= 0 и<i>x</i>=<i>x</i>₁$\ne$<i>k</i>$\pi$(<i>k</i> — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех<i>x</i>.

Точки <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃ расположены на единичной окружности  <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.

Докажите, что точка  <i>h = a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃.

На плоскости даны три окружности <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке <i>Q</i>, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка <i>Q</i> называется <i>радикальным центром</i> окружностей <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃.

Докажите, что геометрическое место точек <i>M</i>, cтепень которых относительно окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ одинакова, является прямой.

Такая прямая называется <i>радикальной осью</i> окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0.  Пусть образ этой линии при отображении  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif">  задается уравнением  <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...

Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif">  и комплексного сопряжения   <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i>  инверсию относительно окружности

  а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;

  б) с центром  <i>Re</i>^<i>i</i>φ  и радиусом <i>R</i>;

  в) с центром <i>z</i>₀ и радиусом <i>R</i>.

Докажите, что отображение  <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif">  является инверсией относительно единичной окружности.

Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0,  где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.

Как изменяется двойное отношение  <i>W</i>(<i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃, <i>z</i>₄)  при действии отображения  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61182/problem_61182_img_2.gif">?

<i>Двойным отношением</i> четырёх комплесных чисел называется число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_2.gif">   (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161180">161180</a>). Пусть <i>w</i>₁, <i>w</i>₂, <i>w</i>₃, <i>w</i>₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_3.gif">  переводит данные четыре точки <i>z</i>₁, <i>z</i><sub>2&l...

Докажите, что условием того, что четыре точки <i>z</i>₀, <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃ лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61180/problem_61180_img_2.gif">

Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Bz</i> – <span style="text-decoration: overline;"><i>B</i></span> <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> + <i>C</i> = 0,  где <i>C</i> – чисто мнимое число.

а) Найдите все корни <i>x_k</i> уравнения   cos <i>x</i> + cos 2<i>x</i> + cos 3<i>x</i> + ½ = 0.

б) Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа  2 cos <i>x_k</i>?

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>ctg</i> 30^<tt>o</tt> + <i>ctg</i> 75^<tt>o</tt> = 2. </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> 1 + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>